수학문제-확률과 통계

Q1. 눈이 1부터 6까지 있는 주사위를 두 번 던질 때 나오는 수 중 3의 배수가 존재할 확률은?

 -> 1 - (3배수가 나오지 않을 확률 x 3배수가 나오지 않을 확률)
  = 1 - (4/6) x (4/6) = 1 - (16/36) = 20/36 = 5/9

Q2. 주사위를 5회 던졌다고 가정했을 때 주사위의 숫자 중 관심있는 숫자 5가 3회 이상 나타날 확률은? (소수 세째자리)

 *이항분포의 확률 공식 P(X) = (n,k)p^x(1-p)^n-x
(n,k) = nCk => n개중 k개를 고르는 경우의 수 = n! / k!(n-k)!

*파이썬을 이용하기
 1) 팩토리얼도 파이썬으로

import math
math.factorial(5) / (math.factorial(5) * math.factorial(0))

2) P(x>=3)일 경우는 P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).
P(X=3) = 5C3 * ((1/6)**0)*(5/6)**5)
P(X=4) = 5C4 * ((1/6)**1)*(5/6)**4)
P(X=5) = 5C5 * ((1/6)**2)*(5/6)**3)

a=10 * ((1/6)**3)*((5/6)**2)
b=5  * ((1/6)**4)*((5/6)**1)
c=1  * ((1/6)**5)*((5/6)**0)
round(a+b+c,3)

--> 0.035

3)1-P(x<2)로 구하기, 2)와 같음
1-(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2))

a=1 * ((1/6)**0)*((5/6)**5)
b=5  * ((1/6)**1)*((5/6)**4)
c=10  * ((1/6)**2)*((5/6)**3)
sum = a+b+c
round(1-sum,3)

Q3. 우등반에 들어가기 위해서는 어느 시헝에서 상위 2%안에 들어야 한다. 해당 시험 점수의 평균이 85점이고 표준편차가 5일 때, 우등반에 들어가기 위한 최소 시험 점수는?(단, P(Z<=2.05)=0.98)
 정규분포
Z = (구하고자 하는 값 x - 평균) / 표준편차(시그마) = 2.05(98%)
   => x-85 / 5 = 2.05
   x = 2.05 * 5 + 85
   x = 95.25

Q4. 학생들이 본 시험 점수 평균이 70이고 표준편차가 8인 정규분포를 따르면서 내가 받은 점수는 90점이라고 한다. 다음 중 제대로 해석한 것은?
     Z = (90 - 70) / 8 = 2.5

Q5. 이산확률변수 X가 가능한 값으로는 1,2,4가 있다. P(X=1)=0.3이고 기댓값이 2.7일때 P(X=2)는?

X가 가능한 값은 1,2,4이므로 아래와 같이 된다.
  P(1) = 0.3
  P(2) = x
  p(4) = 0.7-x 

 * P(4)  = 0.7 - P(2)
 *P(1) + P(2) + P(4) = 1

기댓값이 2.7이므로,
기댓값은 

1* 0.3 + 2 *x + 4*(0.7-x) = 2.7
0.3 + 2x + 2.8 - 4x
 = 3.1 - 2x = 2.7
 = 3.1 - 2.7 = 2x
 = 0.4 = 2x
 x = 0.2

Q6. 통계학 과목의 평균점수는 70점이고 표준편차는 10점이다. 담당교수가 상위 10%의 점수에 A 학점을 주려고 한다면, A 학점을 받기 위한 최저 점수는 몇 점인가?
(Hint: P(Z<-1.96)=0.025, P(Z<-1.645)=0.05, P(Z<-1.28)=0.10)

P(Z<-1.28) = 0.10
(x - 70) / 10 = 1.28
x = 82.8

Q7. 연말정산 서류 중에 약 40%는 오류가 있다고 알려져 있다. 만약 3개의 연말정산 서류를 조사했을 때, 1 개 이상의 서류가 오류를 가지고 있을 확률은 (0.4)³이다

1 개 이상의 서류가 오류를 가지고 있을 확률 = 전체 확률 - 모든 서류가 정상일 확률
= 1 - (모든 서류가 정상일 확률)
= 1 - (0.6)³
= 1 - 0.216
= 0.784

Q8. 날씨 데이터에 대한 조사결과가 다음과 같다.
    전체 조사일 중 비가 온 비율 = 7/20
    전체 조사일 중 기압이 높은 비율 = 12/20
    비가 온 날 중 기압이 높은 비율 = 2/7
    Bayes 정리를 사용하여 기압이 높은 날 중 비가 온 날의 비율을 계산한 값은 얼마인가?