관계기반 알고리즘 설계_수학적 귀납법

관계기반 알고리즘 설계

(1)   탐색기반 알고리즘 설계 : 컴퓨터의 빠른 연산 속도를 이용하여 짧은 시간에 가능한 해의 집합을 탐색하면서 최적의 해를 구하는 기술적인 방법

(2)   관계기반 알고리즘 설계 : 해를 구하는 행위를 하나의 함수로 표현하고 이 함수들의 관계를 이용하여 해를 구하는 방법

-  문제의 정의 및 상태를 함수로 정의, 이 함수들 간의 관계를 점화식 혹인 이와 유사한 형태로 표현, 수학적 귀납법/점화식 등의 표현 기반

수학적 귀납법

  - 자연수 n에 관한 명제 P(n)이 모든 자연수에 대해서 성립함을 증명하기 위한 수학의 증명법 중 한 방법

  - 다음의 두가지 단계로 증명

  1) P(1)이 성립함을 보인다.

  2) P(k)가 성립한다고 가정하고 P(k+1)이 성립함을 보인다.

 - 수학적 귀납법을 이용한 문제해결의 절차

  1) 입력값이 n인 문제의 해를 f(n)으로 정의

  2) f(1)을 직접 구하여 출력

  3) f(k)를 이미 구해두었다고 가정하고 f(k)를 통하여 f(n)을 구하고 출력한다.

- 예제1 : 임의의 정수 n을 입력받아 1부터 n까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (단, n<=100)

 -> 풀이1

  1) f(n)을 다음과 같이 정의

   - f(n)='1부터 n까지의 합'

  2) f(1)을 정의에 의하여 직접 구하면,

   - f(1) = 1

  3) f(n-1)을 이미 구해두었다고 가정, 다음과 같이 f(n)을 구할 수 있다. f(10)을 f(9)를 이용하여 나타내면,

   - f(10) = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

   - f(9) = 1+2+3+4+5+6+7+8+9

   ->f(10) = f(9) + 10, 이를 일반화 하면

   ->f(n) = f(n-1)+n

이 관계를 재귀함수를 이용하여 풀면,

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
int f(int n)
{
    if (n == 1) return 1;
    return f(n - 1) + n;
}
 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << f(n) << endl;
    return 0;
}

이러한 문제해결 방법을 분할정복(divide and conquer)기법이라고 한다. 

일반적으로 분할정복 기법은 입력크기 n을 동일한 크기의 k개의 함수로 분할하여 이 분할의 결과를 이용하여 전체 문제를 해결하는 방법을 말한다.